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第六章 流數術與無窮級數(2)

三輛馬車排成縱列,靜謐地行駛在瓦魯瓦公爵領的鄉間。

亞伯拉罕古教會的二十多個成員分座在這三輛馬車上。《戰車登天技法》被也切割成了三份,由三輛馬車上的人分別持有。這一方面是為了加速密文的破譯,另一方面則是為了防止有人想要獨佔《戰車登天技法》。

據艾拉他們被魔法傳送至法蘭西島已有整整一個月。《戰車登天技法》的破譯工作在那二十多個亞伯拉罕古教會成員的協力下已接近尾聲。

可在空間上,他們卻還是在法蘭西島的周邊團團打轉——雖然沒有被法蘭西島伯爵的人給逮住,卻也絲毫沒有接近施塔德。如果把他們走過的路線在地圖上畫出來,就會發現比起逃離法蘭西島,他們倒更像是在對法蘭西島周邊進行地毯式搜查。

沒有任何一個人站出來對這種詭異的路線進行解釋。因為這條詭異路線的規劃者——艾拉.科爾涅利烏斯.西庇阿,至始至終都在做著數學題。

在一個月裡,艾拉的數學研究得到了長足的進展。

利用那個蜘蛛的夢境所得到的靈感,艾拉在白紙上畫出了橫、豎兩條呈九十度角的數軸。

艾拉將這兩條數軸所構成的系統命名為坐標軸。

透過這種方式,白紙上的任何一點都可以用一個數字的座標所表示出來。任何幾何圖形都是由無限個點所構成,換句話說,利用這個坐標軸,任何幾何圖形就都可以轉化為數了。

——幾何和數,在此基礎上得到了統一。

艾拉覺得自己已經朝著畢達哥拉斯學派“萬物皆數”這個理念踏出了一大步,好幾次都忍不住想要把這個發現告訴戈特弗裡德。

然而,正致力於破解《戰車登天技法》的戈特弗裡德根本沒有心思聽艾拉在喋喋不休地說著什麼。艾拉幾次跑過去,都被戈特弗裡德敷衍了事。

到了後來,只要艾拉一出現在戈特弗裡德的馬車前,甚至不用戈特弗裡德出聲,他旁邊的人就會像驅趕蒼蠅一樣驅趕她了。

哈比巴似乎看到了賺錢的良機,笑嘻嘻地湊過來對艾拉說道:“大小姐,我這徒弟脾氣不好,唯獨聽我的話。你要真想學數學,給我五個諾米斯馬,我擔保他老老實實教你。他不願意,我把他捆起來丟你房間去也行。”

但即便是哈比巴,最後也補充了一句:“不過,要等我們把《戰車登天技法》解密完之後。”

據這群亞伯拉罕古教會成員的說法,《戰車登天技法》上記載了丈量無限神明的方法。學習它,就能瞭解至高神的性質,得到遠超越任何一種加護的力量。

為了儘快擺脫被使徒追殺的窘境,他們日夜不停的進行著破譯《戰車登天技法》的工作,平均每人每天只睡三小時。這一個月下來,他們已經到了極限了,才沒有什麼心思去管什麼數學題。

艾拉只能悻悻地縮回馬車的角落,自己一個人在紙上繼續寫寫畫畫著。作為報復,當有人問她為什麼要走這種路線時,她也總是敷衍地說道:“等我做完這道題。”

在這段時間裡,她把所有常見的幾何圖形都用基於坐標軸的函式式表達了出來。然後,問題就又回到了那條拋物線上。

拋物線是一條曲線。經驗告訴艾拉,每當問題和曲線相關的時候,難度就會一下子變大。

透過坐標軸,艾拉已經可以用數字描述各種各樣的曲線。為了給自己一些信心,她先是選擇了最簡單的拋物線:y=x2來進行研究。

她做了一條直線y=1,與拋物線交於一個a點。這樣,拋物線、直線、x軸三條線就圍成了一個不規則的幾何圖形。

艾拉想要計算出這個不規則圖形的面積。

她在拋物線上找出一個個點,分別垂直x軸與y軸做出兩條線,以此把這個不規則圖形分成了一個個矩形。這些矩形的面積加起來顯然大於那個不規則圖形的面積。然而,把這些矩形分的越細,他們的面積就會越接近於那個不規則圖形。

艾拉假設從坐標軸原點到y=1這條直線之間分出了N個矩形,那麼每個矩形的寬度就是1/N。又因為拋物線的函式式是y=x2,那麼第一個矩形的高就是(1/N)2,第二個矩形的高度就是(2/N)2……

那麼,所有矩形的面積之和就是:

S=1/N×(1/N)2+1/N×(2/N)2+……+1/N×(N/N)2

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這是一個無窮級數。然而,戈特弗裡德曾經教過艾拉無窮多項式的平方和公式。在利用這個公式將這個無窮級數化簡之後,她得到了一個極為簡單的算式:

S=1/3+1/(2N)+1/(6N2)

N越大,矩形的面積和就越接近於那個不規則圖形。那麼當N無限大的時候,矩形的面積之和S就會等於那個不規則圖形的面積。此時,1/(2n)和1/(6n2)就是無限小,完全可以捨去。

於是這個不規則圖形的面積就顯而易了:S=1/3。

——無限大、無限小

艾拉把剛剛出現的這兩個概念低聲念了一遍。在數學運算中出現了無限的概念,讓她多少感到有些不適。

她甩甩頭,把這種不適感拋到腦後,然後將函式式由y=x2改成了y=x3

雖然只是輕微的改動,但要求出面積的難度立刻大了數倍。這次,艾拉寫了整整兩頁紙,也沒能向先前一樣把公式化簡。

“為什麼一涉及曲線,就總是會出現無限啊!”

艾拉拋下筆,抱著頭哀嚎了起來。

無限,這是所有數學家都難以跨越的深淵。

拋物線和圓都還只是最簡單的曲線,只不過是從無限的深淵邊探出來的一根小小的樹枝。艾拉抓住了這根小樹枝。可當繼續下望時,她看到的是更為恐怖的深淵——利用坐標軸和函式式,她找到了許許多多阿基米德根本無法描述的複雜曲線。

她發現了它們,卻根本無法駕馭它們。這彷佛是神明的一個警告:人啊,做你該做的事!

無限,這是人類絕對不能涉足的禁區。

“畢達哥拉斯學派的魔法也太難學了!”

艾拉又一次大喊了起來。

“小聲點!”

亞伯拉罕正教會的人紛紛向艾拉投來了不滿的視線,嚇得艾拉慌忙捂住了嘴巴。